$$\newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\fl}{\text{fl}} \newcommand{\hens}{\text{h}} \newcommand{\LFT}{\text{LFT}} \newcommand{\op}{\text{op}} \newcommand{\opennormal}{\lhd_\text{o}} \newcommand{\opensubset}{\subset_\text{o}} \newcommand{\kan}{\text{kan}} \newcommand{\shens}{\text{sh}} \newcommand{\stg}{\text{stg}} \newcommand{\top}{\text{top}} \newcommand{\et}{\mathrm{\acute{e}t}} \newcommand{\Zar}{\text{Zar}} \newcommand{\Sh}{\textbf{Sh}} \newcommand{\PrSh}{\textbf{PrSh}} \newcommand{\Ab}{\textbf{Ab}} \newcommand{\Aff}{\textbf{Aff}} \newcommand{\Schemata}{\textbf{Schemata}} \newcommand{\Ringe}{\textbf{Ringe}} \newcommand{\GMengen}{G\textbf{-Mengen}} \newcommand{\GMod}{G\textbf{-Mod}} \newcommand{\Mengen}{\textbf{Mengen}} \newcommand{\Funktoren}{\textbf{Funktoren}} \newcommand{\Qcoh}{\textbf{Qcoh}} \newcommand{\TSh}{\textbf{TSh}} \DeclareMathOperator{\Abb}{Abb} \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator*{\colim}{colim} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \DeclareMathOperator{\End}{End} \DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} \DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} \DeclareMathOperator{\H}{H} \DeclareMathOperator{\Hh}{\mathcal{H}} \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} \DeclareMathOperator{\Hhom}{\mathcal{H}om} \DeclareMathOperator{\im}{im} \DeclareMathOperator{\id}{id} \DeclareMathOperator{\Kat}{Kat} \DeclareMathOperator{\Mor}{Mor} \DeclareMathOperator{\Pic}{Pic} \DeclareMathOperator{\pr}{pr} \DeclareMathOperator{\Quot}{Quot} \DeclareMathOperator{\res}{res} \DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \DeclareMathOperator{\Tor}{Tor} \DeclareMathOperator{\Ub}{\ddot{U}b} \newcommand{\Ga}{\mathbb{G}_\text{a}} \newcommand{\Gm}{\mathbb{G}_\text{m}} \newcommand{\equalizer}[3]{\xymatrix{\displaystyle #1 \ar[r] & \displaystyle #2 \ar@<-.5ex>[r] \ar@<.5ex>[r] & \displaystyle #3}}$$

(Quasi-)Endliche Morphismen

Inhaltsverzeichnis

In diesem Kapitel seien alle Schemata lokal noethersch.

Definition 5.1.

Ein Schema-Morphismus $f: Y\to X$ heißt endlich, wenn er affin ist und für jedes offen affines $U\opensubset X$ ist $\Gamma(f^{-1}(U), \O_Y)$ eine endliche $\Gamma(U, \O_X)$-Algebra.

Bemerkung 5.2.

Es genügt die Eigenschaft auf einer offen affinen Überdeckung nachzuprüfen.

Bemerkung 5.3.

Sei $X$ ein normales Schema und $f: X'\to X$ seine Normalisierung in einer endlich separablen Erweiterung seines Funktionenkörpers $k(X)$. Dann ist $f$ endlich.

Beweis.

Siehe z.B. [AM] 5.17.

$\square$

Lemma 5.4.

Es gilt:

  1. Abgeschlossene Immersionen sind endlich.
  2. Die Komposition endlicher Morphismen ist endlich.
  3. Jeder Basiswechsel eines endlichen Morphismus’ ist endlich.

Satz 5.5.

Endliche Morphismen sind eigentlich.

Beweis.

Affine Morphismen sind separiert, also genügt es zu zeigen, dass $f: Y\to X$ universell abgeschlossen ist. Nach Lemma 5.4 (iii) genügt zu zeigen, dass $f$ abgeschlossen ist. Sei o.B.d.A. $X$ affin, also $f: \Spec(B)\to \Spec(A)$. Dann ist $f$ induziert durch $A\to A/\mathfrak{a} \hookrightarrow B$, wobei $\mathfrak{a} = \ker(f)$ und $B$ eine endliche $A/\mathfrak{a}$-Algebra ist.

Der Morphismus $\Spec(A/\mathfrak{a})\to\Spec(A)$ ist abgeschlossen. Dass $\Spec(B)\to \Spec(A/\mathfrak{a})$ abgeschlossen ist, folgt aus dem Aufstiegstheorem von Cohen-Seidenberg für ganze Ringerweiterungen, siehe z.B. [AM] 5.11.

$\square$

Lemma 5.6.

Sei $k$ ein Körper. Für ein Schema $f: X\to k$ von endlichem Typ sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. $X$ ist affin und $\Gamma(X, \O_X)$ ist artinsch.
  2. $X$ ist endlich und diskret als topologischer Raum.
  3. $X$ ist diskret als topologischer Raum.
  4. $f$ ist endlich.

Definition 5.7.

Ein Schema-Morphismus $f: Y\to X$ heißt quasiendlich, wenn $f$ von endlichem Typ ist und die Fasern $f^{-1}(x)$ für alle $x\in X$ endliche Mengen sind.

Lemma 5.8.

  1. Jede Immersion ist quasiendlich.
  2. Die Komposition quasiendlicher Morphismen ist quasiendlich.
  3. Jeder Basiswechsel eines quasiendlichen Morphismus’ ist quasiendlich

Theorem 5.9.

(Zariskis Hauptsatz) Sei $X$ ein quasikompaktes Schema. Dann kann jeder separierte, quasiendlicher Morphismus $f: Y\to X$ als Komposition $Y\stackrel{f'}{\to} Y'\stackrel{g}{\to} X$ geschrieben werden, wobei $f'$ eine offene Immersion und $g$ ein endlicher Morphismus ist.

Korollar 5.10.

Ein quasiendlicher, eigentlicher Morphismus ist endlich.

Beweis.

Sei $f:Y\to X$ quasiendlich und eigentlich und o.B.d.A. $X$ affin, also insbesondere quasikompakt. Wir betrachten die Faktorisierung nach Zariskis Hauptsatz $f: Y\stackrel{f'}{\to} Y'\stackrel{g}{\to} X$, wobei $f'$ eine offene Immersion und $g$ endlich ist.

Daher genügt es zu zeigen, dass $f'$ auch eine abgeschlossene Immersion ist. Dafür genügt es zu zeigen, dass $f'$ abgeschlossen ist. Wir faktorisieren $f'$ als:

$$Y\stackrel{\Gamma_{f'}}{\longrightarrow} Y\times_X Y' \stackrel{\pr_2}{\longrightarrow} Y'$$

Da $g$ endlich, also eigentlich, insbesondere separiert ist, zeigt das Diagramm

$$\xymatrix{ Y \ar[r]^-{\Gamma_{f'}}\ar[d]_{f'} & Y\times_X Y' \ar[d]^{f'\times\id}\\ Y' \ar[r]_-{\Delta_g} & Y'\times_X Y' }$$

dass $\Gamma_{f'}$ eine abgeschlossene Immersion ist. Da $f$ eigentlich ist, zeigt das Diagramm

$$\xymatrix{ Y\times_X Y' \ar[r]^{\pr_2}\ar[d]_{\pr_1} & Y' \ar[d]^g \\ Y \ar[r]_f & X }$$

dass $\pr_2$ eigentlich ist. Daher ist $f' = \pr_2\circ\Gamma_{f'}$ abgeschlossen.

$\square$

Inhaltsverzeichnis